Penyelesaian
Analitis Persoalan Optimasi
(Modelling and optimization)
Peranan rekayasa sistem (system
engineering) adalah untuk mendapatkan metodologi yang sisitematik dalam
melakukan studi (mempelajari) dan menganalisis berbagai aspek sistem, baik
struktural maupun non struktural menggunakan model matematik atau fisik.
Rekayasa sistem juga membantu proses
pembuatan keputusan dengan cara seleksi kebijakan alternatif terbaik
menggunakan simulasi dan Teknik optimasi.
Model metematik :
Satu set persamaan yang
menggambarkan dan mempresentasikan sistem nyata (real system).
Model matematik umumnya digunakan
untuk mendapatkan cara terbaik dalam mengatur (controlling) atau mengelola
(management) sebuah sistem fisik.
Persamaan-persamaan dalam model
matematik menunjukkan rumusan berbagai aspek persoalan, mengidentifikasikan
hubungan fungsional diantara komponen dan elemen dalam sistem, menetapkan
ukuran efektifitas dan kendala, serta menunjukkan data yang diperlukan terkait
dengan persoalan secara kuantitatif.
Untuk itu model matematik yang dibuat
harus semirip/sedekat mungkin dengan sistem yang dimodelkan. Kriteria
umum untuk hal ini adalah keluaran model dan keluaran sistem nyata harus identik.
Representasi
skema proses pemodelan dan optimasi sistem
Solusi
yang diperoleh dari penyelesaian model matematik dapat diaplikasikan pada
sistem fisik yang sesungguhnya. Dalam menerapkan stategi penyelesaian persoalan
kita dapat menempuh dengan pendekatan optimasi, simulasi atau gabungan
keduanya. Hasil akhir dari prosedur di atas hádala keputusan optimal
terkait dengan pengendalian dan/atau pengelolaan sebuah sistem.
Ungkapan
matematik secara umum dikatakan sebagai prosedur optimasi, yaitu:
Prosedur penetapan nilai sejumlah variable keputusan
(decision variables) sesuai dengan fungís tujuan (objective function) yang
diinginkan (maximize or minimize) dan memenuhi batasan-batasan (contraints)
yang berlaku pada sistem yang ditinjau.
Prinsip Dasar “Mathematical Programming”
Prosedur
umum penyelesaian “mathematical programming” diawali dengan mendefinisikan
komponen persoalan berikut ini.
Decision Variables :
sebagai besaran yang akan dicari
nilainya.
Parameters
: ukuran-ukuran
bernilai tetap dan dapat diterapkan dalam perhitungan seperti harga, biaya,
benefit dan lain-ain.
Constraints :
sebagai faktor pembatas/kendala yang
perlu dirumuskan secara matematis.
Objective Function :
adalah pernyataan kuantitatif dari
kasus optimasi, sebagai contoh:
memaksimumkan benefit, menentukan biaya operasi minimum.
Teknik
Optimasi
Setiap algoritme dari “Operations
Research” diturunkan dengan prinsip yang sama, yaitu untuk mencapai
penyelesaian yang optimal atau dengan kata lain solusi terbaik dapat diperoleh
melalui penggunaan teknik optimasi. Beberapa teknik optimasi yang termasuk
dalam kelompok “Mathematical Programming” adalah:
1. Calculus Method,
2.
Linier Programming (LP),
3.
Non Linear Programming (NLP),
4. Integer Programming (IP),
5. Dynamic Programming (DP),
6. Integer Linear Programming (ILP).
Optimasi dengan menggunakan metode
kalkulus merupakan cara klasik yang dapat dipergunakan untuk menentukan nilai
optimal dari suatu fungsi kontinyu dan diferensiable (dapat
diturunkan/dideferensialkan). Metode analitis ini menggunakan prinsip
diferensial kalkulus untuk menemukan lokasi titik-titik optimum. Dengan
algoritme tersebut, metode ini terbatas keberlakuannya hanya untuk pemakaian
praktis, oleh karena beberapa persoalan dapat melibatkan fungsi tujuan yang
tidak bersifat kontinyu atau tidak dapat dideferensialkan.
Model
Matematik Standar
Penerapan model
matematik untuk optimasi pengelolaan sumberdaya air pada daerah aliran sungai
atau pada satuan wilayah sungai umumnya mempunyai bentuk perumusan yang
kompleks, sehingga penyelesaian secara numeris perlu digunakan alat bantu
hitung yang memadai. Penggunaan program komputer sekarang ini sudah merupakan
keharusan untuk memperoleh penyelesaian model matematik yang efisien dengan
akurasi yang memuaskan.
Masing-masing algoritme
dari “operations research” (program linier, program dinamik, simulasi, teknik
penelusuran dan lain-lain) telah banyak dibuat paket program yang dapat
dipergunakan untuk kasus optimasi di bidang sumberdaya air. Secara umum bentuk
standar model akan mengikuti perumusan matematik sebagai berikut ini.
Fungsi tujuan dapat
berupa pernyataan upaya memaksimumkan atau meminimumkan perolehan manfaat pengelolaan
sistem sumberdaya.
OF :
max Z = f ( X1, X2,
X3, ... , Xn ) atau min Z = f ( X1, X2, X3,
... , Xn )
dengan kendala : gi ( X1, X2,
X3, ... , Xn ) ³ bi
; i = 1,2, ... , m
dimana :
Xi = decision variables,
f dan gi = fungsi yang tergantung dari nilai Xi,
bi = parameter model,
m =
banyaknya rumusan kendala.
Contoh sederhana rumusan model
optimasi
KASUS
Sebuah pabrik
yang telah dilengkapi dengan instalasi pengolah limbah akan menyusun rencana
produksi dengan memperhatikan batasan syarat kualitas air dari buangan limbah.
Produk pabrik tersebut dapat dijual dengan harga $ 10 per unit dengan biaya
produksi $ 3 per unit. Untuk satu unit barang yang diproduksi akan menghasilkan
2 unit limbah. Kapasitas instalasi pengolah limbah adalah 10 unit limbah dengan
efisiensi penghilangan limbah 80%. Biaya pengolahan limbah per unit limbah
adalah $ 0,6. Pengusaha pabrik juga dikenai pajak sebesar $ 2 per unit limbah
yang sampai di badan sungai (tempat pembuangan limbah). Di lokasi pembuangan
limbah (sungai) berlaku ketentuan bahwa limbah yang sampai di badan sungai
tidak boleh lebih dari 4 unit.
Dengan latar belakang persoalan tersebut bagian produksi
pabrik harus menentukan kapasitas unit produksi dan limbah yang harus diolah di
instalasi pengolah limbah (sebagian dibuang langsung ke sungai), agar mendapat
keuntungan maksimal serta tidak melanggar ketentuan batas kualitas air buangan
limbah. Rumuskanlah model optimasi dengan metode Program Linier serta berikan
solusi optimalnya
Skematisasi persoalan alternatif 1
Rumusan model optimasi
- Decision variables
X1
= kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2
= beban limbah yang diproses ke IPAL (unit limbah)
- Objective function : Mencari net benefit yang maksimum
Max Z = Total Benefit – Total Cost
= 10 X1 – [ 3X1 + 0,6 X2
+ 2 (0,2 X2 + 2X1 – X2)]
= 3 X1 + X2
- Constraints
a. Kapasitas IPAL :
X2 ≤ 10
b. Limbah maksimum
ke sungai : 2X1 – X2 + 0,2 X2
≤ 4
2X1 – 0,8 X2 ≤ 4
c. Non-negative
constraints : 2X1 – X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Skematisasi persoalan alternatif 2
Rumusan model optimasi
- Decision variables
X1
= kapasitas produksi pabrik (unit produksi)
X2
= beban limbah yang langsung dibuang ke sungai (unit limbah)
- Objective function : Mencari net benefit yang maksimum
Max Z = Total Benefit – Total Cost
= 10 X1 – [ 3X1 + 0,6 (2X1
– X2) + 2 (X2 + 0,2 (2X1 - X2))]
= 5 X1 - X2
- Constraints
a. Kapasitas IPAL :
2X1 – X2 ≤ 10
b. Limbah maksimum
ke sungai : X2 + 0,2 (2X1 –X2) ≤ 4
0,4X1 + 0,8X2 ≤ 4
c. Non-negative constraints : 2X1 – X2 ≥ 0
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Tabulasi
solusi optimal diselesaikan dengan Solver Excel
Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 1
Variabel
|
Nilai variabel
|
Constraint
|
Nilai ruas kanan
|
Objective function
|
X1
|
6
|
X2
<= 10
|
10
|
Z = 28
|
X2
|
10
|
2X1
- 0,8X2 <= 4
|
4
|
|
2X1
- X2 >= 0
|
2
|
Penyelesaian rumusan model optimasi alternatif 2
Variabel
|
Nilai variabel
|
Constraint
|
Nilai ruas kanan
|
Objective function
|
X1
|
6
|
2X1 - X2 <= 10
|
10
|
Z = 28
|
X2
|
2
|
0,4X1+ 0,8X2 <= 4
|
4
|
|
2X1 - X2 >= 0
|
10
|